深知自己快退役了，所以这段时间打算把 FFT
原理的那一部分搞明白
首先，我们需要知道平常我们做的 FFT
实际上是循环卷积，循环卷积的长度相当于单位根的下指标，而平时这个值都是大于最后次数的，所以和普通卷积并无差别，具体来说我们要求的是
\[
c_k=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_ib_j[(i+j)\operatorname{mod}n=k]
\]
由单位根反演可得 \[
\begin{aligned}
c_k&=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_ib_j\big(\frac{1}{k}\sum_{d=0}^{n-1}\omega_n^{(i+j-k)d}\big)\\\\&=\frac{1}{k}\sum_{d=0}^{n-1}\omega_n^{-kd}\big(\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{id}\big)\big(\sum_{j=0}^{n-1}b_j\omega_n^{jd}\big)
\end{aligned}
\]
我们发现前一部分是 IDFT 而后一部分是
DFT，合起来就是 FFT 了
但这就要求我们可以实现任意长度 FFT，然而对于
FFT 实际求解中最关键的一步却要求需要为 \(2\) 的整数次幂，具体过程如下
考虑当前多项式 \(A(x)\)
我们不妨设
\[
A^{[0]}(x)=\sum_{i\operatorname{mod}2=0}a_ix^{\frac{i}{2}}
\]
以及
\[
A^{[1]}(x)=\sum_{i\operatorname{mod}2=1}a_ix^{\frac{i-1}{2}}
\]
那么显然
\[
A(\omega_n^i)=A^{[0]}(w_n^{2i})+w_n^iA^{[1]}(\omega_n^{2i})
\]
由折半引理得，对于前一半
\[
A(\omega_n^i)=A^{[0]}(w_{\frac{n}{2}}^i)+w_n^iA^{[1]}(w_{\frac{n}{2}}^i)
\]
对于后一半而言
\[
A(\omega_n^i)=A^{[0]}(w_{\frac{n}{2}}^i)-w_n^iA^{[1]}(w_{\frac{n}{2}}^i)
\]
所以达到问题规模减小的目的
但对于一般的 \(n\)
而言我们需要找到它的因子 \(m\)
类比上方做如下变换，设
\[
A^{[j]}(x)=\sum_{i\operatorname{mod}m=j}a_ix^{\frac{i-j}{m}}
\]
而最终的
\[
\begin{aligned}
A(w_n^i)&=\sum_{j=0}^{m-1}\omega_n^{ij}A^{[j]}(\omega_n^{im})\\\\&=\sum_{j=0}^{m-1}\omega_n^{ij}A^{[j]}(\omega_{\frac{n}{m}}^i)
\end{aligned}
\]
这道题由于保证 \(n\)
可以表示为若干不超过 \(10\)
的正整数乘积，所以复杂度得到保证，更一般的我们可以使用
Bluestein's Algorithm
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| #include <cstring>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long i64;
inline int read(int f = 1, int x = 0, char ch = ' ')
{
while(!isdigit(ch = getchar())) if(ch == '-') f = -1;
while(isdigit(ch)) x = x*10+ch-'0', ch = getchar();
return f*x;
}
const int N = 5e5+5;
int n, C, m, P, gn, lim, d[N]; i64 g[N];
i64 qpow(i64 a, int b) { i64 ret = 1; for( ; b; b >>= 1, a = a*a%P) if(b&1) ret = ret*a%P; return ret; }
void prepare()
{
vector<int> p;
for(int i = 2, n = P-1; i <= 7; ++i)
if(n%i == 0)
{
p.push_back(i);
while(n%i == 0) n /= i, d[++m] = i;
}
for(gn = 1; ; ++gn)
{
int i = 0;
for( ; i < p.size()&&qpow(gn, (P-1)/p[i]) != 1; ++i);
if(i == p.size()) break;
}
g[0] = 1; for(int i = 1; i < n; ++i) g[i] = g[i-1]*gn%P;
}
struct Poly
{
vector<int> A;
int& operator [] (const int i) { return A[i]; }
int ti() { return A.size()-1; }
void set(int ti) { A.resize(ti+1); }
}A, B;
void _FFT(Poly &A, int _)
{
if(!A.ti()) return; int n = A.ti()+1, m = d[_];
vector<Poly> B; B.resize(m);
for(int i = 0; i < m; ++i) B[i].set(n/m-1);
for(int i = 0; i <= n-1; ++i) B[i%m][(i-(i%m))/m] = A[i];
for(int i = 0; i < m; ++i) _FFT(B[i], _+1);
for(int i = 0, q = lim/n; i <= n-1; ++i)
{
A[i] = 0;
for(int j = 0, p = 0; j < m; ++j, p = (p+i)%n)
A[i] = (A[i]+g[p*q]*B[j][i%(n/m)]%P)%P;
}
}
void FFT(Poly &A, int t)
{
if(!t) _FFT(A, 1);
else
{
reverse(++A.A.begin(), A.A.end()), _FFT(A, 1); i64 v = qpow(n, P-2);
for(int i = 0; i < lim; ++i) A[i] = A[i]*v%P;
}
}
int main()
{
n = read(), C = read(), A.set(n-1), B.set(n-1), lim = n, P = n+1, prepare();
for(int i = 0; i < n; ++i) A[i] = read();
for(int i = 0; i < n; ++i) B[i] = read();
FFT(A, 0), FFT(B, 0);
for(int i = 0; i < n; ++i) A[i] = A[i]*qpow(B[i], C)%P;
FFT(A, 1);
for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%d\n", A[i]);
return 0;
}
|