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关于质心唯一性的讨论

前言

质心通常被定义为位置在

\[ \mathbf{r}_C=\dfrac{1}{m_C}\sum_{i} m_i\mathbf{r}_i \]

质量为

\[ m_C=\sum_{i}m_i \] 的点,通过对这个点的研究我们可以忽略系统内力作用,只研究合外力对系统的影响,通过对 \(\mathbf{r}_C\)\(m_C\) 的分析,质心 \(C\) 的满足我们的需要。但是反过来,正如 《力学(舒幼生)》中所言

刚体中是否存在一个点部位 \(C\),它的运动与内力无关,而是由运动的初始状态和外力所确定?

所以,我们是否有更加直接的方式推导出这一结果,并且说明它的唯一性呢?

通过动量定理的推导

考虑系统的合外力需要满足

\[ \mathbf{F}_{\text{tot}}^{\text{out}}=\sum_{i}\mathbf{F}_i=\sum_{i}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}(m_i\mathbf{v}_i)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}(m_C\mathbf{v}_C) \]

将符合直觉的 \(m_C=\sum m_i\) 代入并整理得

\[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}\sum_im_i(\mathbf{v}_C-\mathbf{v}_i)=0 \]

我们可以得出通解为

\[ \sum_i m_i(\mathbf{v}_C-\mathbf{v}_i)=\mathbf{p}_{\text{constant}} \]

实际上隐含了惯性系对牛顿定律的要求,我们取一个惯性系令右侧为 \(0\)

\[ \sum_i m_i\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=0 \]

有通解

\[ \sum_i m_i(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=\mathbf{r}_{\text{constant}} \]

相对静止先前选择的惯性系静止的惯性系 \(\mathbf{p}_{\text{constant}}\) 一致,故可以令

\[ \sum_i m_i(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=0 \]

这样就推出了我们所需要的质心,从这个结果逆推,我们可以得出质心的唯一性。