碎碎念
之前一直搞不清楚的有几个问题
- 坐标系和参考系有什么区别？
- 更严谨和一般的参考系速度和加速度变换的推导？
- 各个离心力的数学理解和主观理解？
坐标系与参考系的关系
由于初高中接触到的参考系变换都是来自于平动，所以对二者的关系理解不深。 引入相对转动后（更复杂的变换，一般是类似刚体运动，可以分解为平动和相对的复合），会出现理解上的困难。
经典力学中的参考系变换一般从伽利略变换引入，但是由于只关注了其形式
\[ (x',y',z',t')=(x+vt,y,z,t) \] 会造成对参考系径矢变换的一些细节上的忽视
\[ \mathbf{r}_S=\mathbf{r}_{S'}+\mathbf{r}_{SS'} \]
在运算时，必须放置在同一"坐标系"下，比如
\[ \begin{aligned} (\mathbf{r}_S)_S&=(\mathbf{r}_{S'})_S+(\mathbf{r}_{SS'})_{S}\\ (\mathbf{r}_S)_{S'}&=(\mathbf{r}_{S'})_{S'}+(\mathbf{r}_{SS'})_{S'} \end{aligned} \]
其中的"同一'坐标系'"是一个很宽泛的理解，指我们需要细致的去考虑对这些物理量的测量方式，参考系变换可以从一些测量方式地变换推出（如 \(\theta_{SS'}=\theta_{S'}+\theta_{SS'}\)），比如如果使用笛卡尔坐标系，那么它用来表征的三个单位向量 \(S\) 系中使用的 \(\mathbf{\hat{x}},\mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}}\) 就不一定与 \(S'\) 系使用的 \(\mathbf{\hat{x'}},\mathbf{\hat{y'}},\mathbf{\hat{z'}}\) 相同，或者比如极坐标的表征方式 \((r,\theta)\) 也和 \((r',\theta')\) 需要做区分。
实际上在转动坐标系下的速度变换的 \(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\) 以及加速度变换所带来的惯性力，即离心力和科里奥利力，都是来自于 \((\mathbf{v}_{S})_{S}\) 和 \((\mathbf{v}_{S})_{S}\)，\((\mathbf{a}_{S})_{S}\) 和 \((\mathbf{a}_{S})_{S}\) 的不同所带来的。
参考系速度变换推导
我们根据
\[ \mathbf{r}_S=\mathbf{r}_{S'}+\mathbf{r}_{SS'} \]
对两侧同时关于 \(t\) 求导得
\[ （\mathbf{v}_S)_S=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}_{S'})_S+(\mathbf{v}_{r})_S \]
通过笛卡尔坐标，或者我们用一些基去表征 \(S\) 和 \(S'\) 中的物理量，引入将 \(S'\) 的基变化成 \(S\) 的基的矩阵 \(\mathbf{R}_{SS'}\)（结合大一上线代换基的知识可知，\(\mathbf{R}_{SS'}=[\mathsf{I}]_{S'}^{S}\)，实际上就是在
\(S\) 中去观察 \(S'\) 中的情况，之前总会搞成在
\(S'\) 中去描述 \(S\) 的转动），简记为 \(\mathbf{R}\)，我们有诸如下述的变化
\[ (\mathbf{r}_{S'})_S=\mathbf{R}(\mathbf{r}_{S'})_{S'},(\mathbf{v}_{S'})_S=\mathbf{R}(\mathbf{v}_{S'})_{S'},(\mathbf{a}_{S'})_S=\mathbf{R}(\mathbf{a}_{S'})_{S'} \]
故
\[ \begin{aligned} （\mathbf{v}_S)_S&=\mathbf{R}(\mathbf{v}_{S'})_{S'}+\dot{\mathbf{R}}(\mathbf{r}_{S'})_{S'}+(\mathbf{v}_{r})_S\\ &=(\mathbf{v}_{S'})_S+\mathbf{\Omega}_{SS'}(\mathbf{r}_{S'})_{S}+(\mathbf{v}_{r})_S\\ &=(\mathbf{v}_{S'})_S+(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'})_{S}+(\mathbf{v}_{SS'})_S\\ \end{aligned} \]
（中间 \(\dot{\mathbf{R}}=\mathbf{\Omega R}\) 实际上是类似 \([\dot{\mathbf{R}}]_S=[\mathbf{\Omega R}]_S=[\mathbf{\Omega}]_S[\mathbf{I}]_{S'}^{S}\)，这里有疑问就是这样的推导能否适用于广泛的三维旋转，感觉没有问题？）
我们将式子整理为
\[ \mathbf{v}_S=\mathbf{v}_{S'}+\mathbf{v}_r=\mathbf{v}_{S'}+(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'}+\mathbf{v}_{SS'}) \]
或者我们可以使用极坐标系进行类似推导二维平面的情况（三维可以使用球坐标系或圆柱坐标系）
\[ \begin{aligned} (\mathbf{v}_S)_S&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}((r_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S))+(\mathbf{v}_{r})_S\\ &=(v_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)+(r_{S'})_S\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta_{S}}\hat{\mathbf{r}}(\theta_{S})\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\theta_{S}+(\mathbf{v}_{r})_S\\ &=(v_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)+(r_{S'})_S\hat{\mathbf{\theta}}(\theta_{S})(\omega_{SS'}+\omega_{S'})+(\mathbf{v}_{r})_S\\ &=(\mathbf{v}_{S'})_S+(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'})_{S}+(\mathbf{v}_{SS'})_S\\ \end{aligned} \]
可以得出一致的结果（不过其中还需要保证测量标量 \(r\) 时，用的"刻度"是一致的）
参考系加速度变换与惯性力
根据
\[ \mathbf{v}_S=\mathbf{v}_{S'}+\mathbf{v}_r=\mathbf{v}_{S'}+(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'}+\mathbf{v}_{SS'}) \]
两侧关于时间 \(t\) 求导可知
\[ (\mathbf{a}_S)_S=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{v}_{S'})_S+(\dot{\pmb{\omega}}_{SS'})_S\times(\mathbf{r}_{S'})_S+(\pmb{\omega}_{SS'})_S\times((\mathbf{v}_{S'})_S+(\pmb{\omega}_{SS'})_S\times(\mathbf{r}_{S'})_S)+(\mathbf{a}_{SS'})_S \]
利用旋转矩阵
\[ \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{v}_{S'})_S&=(\mathbf{a}_{S'})_S+\dot{\mathbf{R}}(\mathbf{v}_{S'})_{S'}\\ &=(\mathbf{a}_{S'})_S+\mathbf{\Omega}(\mathbf{v}_{S'})_{S}\\ &=(\mathbf{a}_{S'})_S+(\pmb{\omega}_{SS'})_S\times(\mathbf{v}_{S'})_S \end{aligned} \]
整理得
\[ \mathbf{a}_S=\mathbf{a}_{S'}+\mathbf{a}_{SS'}+\dot{\pmb{\omega}}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'}+\pmb{\omega}_{SS'}\times(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_S)+2\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{v}_{S'} \]
惯性力本质上就是 \(S\) 系是一个惯性系，在对 \(S'\) 系进行研究时，由于需要保证惯性定律成立，引入惯性力 \(\mathbf{f}_{S'S}\)（简记为 \(\mathbf{f}\)）（极端地想，在刚开始移动的车上有一个小球，在地面参考系 \(S\) 中，车以 \(\mathbf{a}\) 加速，而球静止，真实力为 \(\mathbf{0}\)，在车参考系 \(S'\) 中，小球以 \(-\mathbf{a}\) 减速，然而却找不施力物体，所以是 \(S'\) 相对于 \(S\) 系移动造成的，引入惯性力 \(\mathbf{f}=-m\mathbf{a}\)，同理，在一个旋转的圆盘上有一个小球，当小球与圆盘相对静止时，在 \(S\) 系中的观测到的是小球做圆周运动，存在向心力，在视角跟着圆盘一起旋转的 \(S'\) 系，小球静止不动，但是我们却可以观测到施加了向心力的物体，比如圆盘摩擦产生的热，圆盘支持力的形变等，这一部分同也是 \(S'\) 相当于 \(S\) 系造成的，引入了离心力，同样的场景，考虑刚开始旋转时小球在 \(S\) 系中静止，\(S'\) 系中做圆周运动，这时根据前文，小球首先受到了离心力，但是小球产生离心的运动状态，所以收到了另一种惯性力——科里奥利力，在这种情况下二倍且反方向于离心力，而且若 \(S'\) 对于 \(S\) 是逆时针旋转，那么 \(S’\) 中观测到小球就是顺时针，这个变换同样可以从科里奥利力中得出） 有
\[ m\mathbf{a}_{S'}=\mathbf{f}_{S'S}+m\mathbf{a}_S \]
其中 \(-2\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{v}_{S'}=2\mathbf{v}_{S'}\times\pmb{\omega}_{SS'}\) 便是科里奥利加速度，\(-\pmb{\omega}_{SS'}\times(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_S)\) 便是离心加速度。
叉乘是不满足结合律的，但是有
\[ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c} \]
我们可以得到另一个式子
\[ \mathbf{a}_S=\mathbf{a}_{S'}+\mathbf{a}_{SS'}+\dot{\pmb{\omega}}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'}+(\pmb{\omega}_{SS'}\cdot\mathbf{r}_S)\pmb{\omega}_{SS'}-\omega_{SS'}^2\mathbf{r}_S+2\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{v}_{S'} \]
当 \(\pmb\omega\perp\mathbf{r}_{S'}\) 时，其中 \(\omega_{SS'}^2\mathbf{r}_S\) 便是离心加速度的一种为人熟知的情形。
我们同理可以用极坐标推导二维的情况（这种方法推导一般的情况远没有上述方法容易，方面起见，我们将 \(\theta_{S'}=0\)，即 \(S'\) 系中与研究对象没有相对转动）
\[ \begin{aligned} （\mathbf{a}_{S'})_S&=\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}((r_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S))\\ &=(\ddot{r}_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)+2(\dot r_{S'})_S\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)+(r_{S'})_S\dfrac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}t^2}\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)\\ &=(\ddot{r}_{S'})_S\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)+2(v_{S'})_S\hat{\pmb{\theta}}(\theta_S)(\omega_{SS'})_S+(r_{S'})_S\hat{\pmb{\theta}}(\theta_S)(\dot\omega_{SS'})_S-(r_{S'})_S(\hat{\mathbf{r}}(\theta_S)(\omega_{SS'})_S^2\\ &=\mathbf{a}_{S'}+\dot{\pmb{\omega}}_{SS'}\times\mathbf{r}_{S'}+\pmb{\omega}_{SS'}\times(\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{r}_S)+2\pmb{\omega}_{SS'}\times\mathbf{v}_{S'} \end{aligned} \]
（二维情况下，\(\pmb\omega\perp\mathbf{r}\)）
参考资料
https://zh.wikipedia.ahmu.cf/wiki/%E5%9D%90%E6%A8%99%E7%B3%BB
https://zh.wikipedia.ahmu.cf/wiki/%E4%BC%BD%E5%88%A9%E7%95%A5%E5%8F%98%E6%8D%A2