CTime_Pup_314

前言

质心通常被定义为位置在

\[ \mathbf{r}_C=\dfrac{1}{m_C}\sum_{i} m_i\mathbf{r}_i \]

质量为

\[ m_C=\sum_{i}m_i \]

碎碎念

今天心血来潮想下一个 Manim，结果电脑上的 Python3.7 不行了，索性就直接删掉换成 Anaconda 了，方便之后做版本管理。

碎碎念

之前一直搞不清楚的有几个问题

• 坐标系和参考系有什么区别？
• 更严谨和一般的参考系速度和加速度变换的推导？
• 各个离心力的数学理解和主观理解？

坐标系与参考系的关系

由于初高中接触到的参考系变换都是来自于平动，所以对二者的关系理解不深。 引入相对转动后（更复杂的变换，一般是类似刚体运动，可以分解为平动和相对的复合），会出现理解上的困难。

经典力学中的参考系变换一般从伽利略变换引入，但是由于只关注了其形式

\[ (x',y',z',t')=(x+vt,y,z,t) \]

正文

我们常见到一类关于等价类划分的容斥问题，大致抽象如下：设集合 \(S\) 大小为 \(n\)，方案集合 \(M\)，对于 \(x\in S\)，有 \(x\) 的方案集合 \(M_x\)，存在定义在 \(M\) 上的等价关系 \(\sim\)。需要求出 \[ \sum_{m_x\in M_x}\prod_{a,b\in S}[m_a\nsim m_b] \]

的值。

碎碎念

7.15

一列

题面

设有 \(2^{n-1}\) 个不同的数列，每个数列有 \(n\) 项，每项都等于 \(0\) 或 \(1\)。已知，对于这些数列任意 \(3\)个数列，都存在正整数 \(p\)，使得这 \(3\) 个数列的第 \(p\) 项都为 \(1\)，证明存在唯一的正整数 \(k\)，使得对所有 \(2^{n-1}\) 个数列的第 \(k\) 项都等于 \(1\)。

4.19

面积与格点

题面

设想一个平面上布满间距为 \(1\) 的横纵直线，形成由一个个 \(1\times 1\) 正方形组成的网格。任意给一个面积小于 \(1\) 个单位的图形，证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。

今天用多项式的角度重新审视 [六省联考2017]组合数问题 这道题。

题干要求

\[ \sum_{i\bmod k=r}\dbinom{nk}{i} \]

的值。

CF1459E Latin Square

把矩形抽象为 \((x,y,z)\) 意思为 \(A_{x,y}=z\) 这样位移操作就对应 \(X\) 轴或 \(Y\) 轴的加减，求逆操作就对应 \(X\) 轴或 \(Y\) 轴与 \(Z\) 轴的交换，我们对于最初的每一维维护它们最终对应的位置和加减情况即可。

题目描述

你已被 \(\text{Addictive Coin Machines}\) 聘用去帮助设计风靡全球赌场弹球盘系列的下一款夺人眼球，一本万利，让玩家不能自拔的热门产品。

玩弹球盘需要将球发射到存在着钉子，障碍和靶子的网格中。球会在网格间反弹，直到击中任意一个靶子。玩家会根据击中的靶子获得相应的得分。