前言
质心通常被定义为位置在
\[ \mathbf{r}_C=\dfrac{1}{m_C}\sum_{i} m_i\mathbf{r}_i \]
质量为
\[ m_C=\sum_{i}m_i \] 的点，通过对这个点的研究我们可以忽略系统内力作用，只研究合外力对系统的影响，通过对 \(\mathbf{r}_C\) 和 \(m_C\) 的分析，质心 \(C\) 的满足我们的需要。但是反过来，正如 《力学（舒幼生）》中所言
刚体中是否存在一个点部位 \(C\)，它的运动与内力无关，而是由运动的初始状态和外力所确定？
所以，我们是否有更加直接的方式推导出这一结果，并且说明它的唯一性呢？
通过动量定理的推导
考虑系统的合外力需要满足
\[ \mathbf{F}_{\text{tot}}^{\text{out}}=\sum_{i}\mathbf{F}_i=\sum_{i}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}(m_i\mathbf{v}_i)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}(m_C\mathbf{v}_C) \]
将符合直觉的 \(m_C=\sum m_i\) 代入并整理得
\[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm d t}\sum_im_i(\mathbf{v}_C-\mathbf{v}_i)=0 \]
我们可以得出通解为
\[ \sum_i m_i(\mathbf{v}_C-\mathbf{v}_i)=\mathbf{p}_{\text{constant}} \]
实际上隐含了惯性系对牛顿定律的要求，我们取一个惯性系令右侧为 \(0\) 则
\[ \sum_i m_i\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=0 \]
有通解
\[ \sum_i m_i(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=\mathbf{r}_{\text{constant}} \]
相对静止先前选择的惯性系静止的惯性系 \(\mathbf{p}_{\text{constant}}\) 一致，故可以令
\[ \sum_i m_i(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_i)=0 \]
这样就推出了我们所需要的质心，从这个结果逆推，我们可以得出质心的唯一性。